?

Log in

No account? Create an account
 
 
20 February 2009 @ 02:24 pm
Теории и модели (Записки программиста?)  
Теории и Модели

Наверное это можно тоже отнести к "запискам программиста", хотя я не уверен.
К программированию это отношения не имеет, так что при "техническом" характере заметки я
не чувствую себя здесь 100% компетентным: и в математике-то я не настоящий профессионал, а в
физике и тем более философии - уж совсем не!

Так что не стесняйтесь в коментариях - в том числе и указывая на какую-нибудь глупость или
ошибку в моих рассуждениях.

Так как текст технический, поещаю его под "кат" (на до бы сказать обрез? ) - чтобы не
занимать место у не технических читателей.


Почти все обучение математике, которое я получил за свою жизнь, начиная с младших классов школы и кончая книгами, которые я изредка читал уже после института безбожно путало понятия теории и модели – вещи, на мой взгляд, пожалуй, самые важные для математики вообще. Конечно я не говорю о математической логике, которая этим специально занимается, но за ее пределами...
В первых классах школы довольно стественно учить натуральным числам: сложению и другим действиям, с помощью счетных палочек или любых предметов. Это не математика – это какая-то «естественная» дисциплина – метематика начинает «просвечиваться» тогода, когда почему-то оказывается, что некие таинственные манипуляции с значками на бумаге могут предсказать результат «палочковых» операций!
Или еще почище – отрицательные числа. Если с обычным алгоритмом на бумаге можно с трудом проследить действия со счетными палочками соответствующие каждому шагу алгоритма, то с появлением отрицательных чисел (кажется, это было в 3-м классе) это становится невозможно, хотя искусственные примеры с суммой долга или отрицательной температурой на ртутном термометре с трудом чуть-чуть помогают.
Я ничего этого (про принципияльную разницу между теорией и моделью), конечно, тогда не понимал. Но, похоже, этого равно не понимали ини учителя, на окружающие меня взрослые (людей, по настоящему знающих математика тогда вокруг меня не было – первое реальное соприкосновение с истиноя произошло примерно в 7-м классе, ф физическом кружке на физфаке МГУ). Помню, как меня удивляло и шокировало заявление (и споры вокруг) о невозможности «доказательства», что «минус на минус дает плюс»...
Также и с геометрией – в школе создавалось ощущение, что математическая символика, доказательства и.т.д. – это проста техника (притом, порой таинственная – а именно, не очень ясно, почеме работающая) позволяющая съэкономить время обходясь без изнуряющих пересчитываний или перекладываниу предметов или изнуряюще точных измерений, проведений прямых и.т.д.
Котя многое в эту схему укладывалось с трудом. Я уже упоминал об отрицательных числах, но с действительными числами дело обстоит еще хуже – особенно, когда осознаешь, что их – разных действительных чисел – гораздо ольше чем чего бы то нибыло «реального» в этом мире. Да, еще i !
Первое представление о том что теория и модель, как ни странно, я получил в физическом кружке. Хотя рассуждения об аксиоме пераллельности давали намеки и раньше, здесь – в механике – с полной очевидностью появились принципы относительности Галилея, Ньютона, Эйнштейна. Это был взгляд как-бы с другой стороны: если в математике одна теория можен иметь несколько, иногда весьма разных моделей, то тут одна «конструкция» - наш мир служит вроде как моделью для многих, довольно разных теорий (конечно здесь и позже я отклоняюсь от строго математического понятия модели).
И то, что теории – скажем арифметика с отрицательными (а то и трансцедентными и комплексными) числами гораздо богаче, чем любая из очевидных моделей (счетные палочка или N-мерная геометрия) стало для меня слегка понятным. Гораздо более понятным, когда меня кое-чему еще научили в 7-й школе и особенно, в институте (скажем алгебре с группами, кольцами и полями и математической логике с ее невычислимыми функциями и теоремой Геделя).
В заключение хачу упомянуть одну пару теория-модель, крепко связанную в сознании людей – это теория вероятностей и модель основанная на физическом представлении о повторяющихся случайных событий. Модель состоит в том, что мы имеем случаюное событие – то есть результат чего-то никому не известен – в том числе неизвестен «физическим законам» - до некоторого момента времени, когда событие призошло и этот результат стал всем известен (и одинаков для всех наблюдателей). Чистой моделью была бы монетка с двумя сторонами, которые никто не может отличить кроме меня, который может их отличить (орел от решки) волшебным способом. Реальная монета это приближение: в нашем представлении физические законы (в отсутствии наблюдаающего интеллекта) не могут различить конфигурацию незначительных выступов на сторонах монеты...
Мне всегда было интересно, как это соотносится с принципом неопределенности в физике, когда, скажем, положение элементарной частицы не может быть определено (до некоторого события), а может только быть описано неким распределением вероятностей (точнее, плотностей вероятности). Это можно мысленно интерпретировать двумя способами.
1. Подобно уже упавшей монетке, которую никто не видел – мы можем посчитать вероятности, скажем 0.4999999 – орел и 0.5000001 – решка. И можно себе представить волшебника – меня (или Бога), который волшебным образом видит эту лежащую монетку и знает ответ.
2. Пока событие не произошло (скажем, коробку не открыли), точное (то есть выраженное одним числом, а не полем) положение частицы (или положение монетки) не определено вообще. Собственно и самой монетки (частицы) не существует – вместо этого существует монетное (электронное – в случае частицы - электрона) облако...
Я всегда (не имея настоящего физического образования ) считтал, что второй вариант более адекватен для элементарных частиц (хотя для монетки – пр нашем весьма материалистическом видении мира – ближе первый). Но как-то беседую с одной немолодой женщиной, преподовательницей физики в высшей школа в прошлом, наткнулся на полное непонимание. Она даже понять не могла, что я имею в виде под вариантом 2 и начала даже очень сердиться :-)